- Инженерия, Сергиенко Петр Якубович, Философия, общество

«КРУГАТУРА» КВАДРАТА, ПОСТРОЕНИЕ И ВЫЧИСЛЕНИЕ КОНСТАНТЫ πс

Алгоритм построения окружности равной периметру единичного квадрата

Арифметические знаки – это записанные геометрические фигуры, а геометрические фигуры — это нарисованные формулы.
Д.Гильберт

Задачи на построение «квадратуры круга» и «кругатуры квадрата» с помощью циркуля и линейки без делений пришли к нам со времен астрономической геометрии Платона (429 – 348 до н.э.). В согласии с учением Платона, в гармоничном самодвижении Космоса нет ничего кроме круговых движений звёздных пространств и их световой энергии, порождающих бесконечное многообразие геометрических структур материальных форм бытия и наше мышление о них, в том числе математическое. Как известно, мерой форм этого движения является числовая мера константы «пи» (число отношения длины окружности к ее диаметру). Мера данной константы является основанием для вычисления многих других констант мироустройства. Искусство построения геометрических фигур при помощи циркуля и линейки было в высокой степени развито в Древней Греции. Однако древним геометрам никак не удавалось выполнить некоторые построения, используя лишь циркуль и линейку, а построения, выполненные с помощью других инструментов, не считались геометрическими.
Обратной задачей «квадратуры» круга является задача «кругатуры» квадрата, т.е. задача построения круга равновеликого данному квадрату. Она была известна больше в Древней Индии в связи с построением алтарей. Индийские алтари имели самую разную форму: в виде квадрата, круга, полукруга, равностороннего треугольника, равнобедренной трапеции, даже сокола и черепахи. Но все эти алтари должны были иметь одну и ту же площадь. Решения этих задач приведены в книге Древней Индии «Сульвасутра». Практически с тех времен и до наших дней площади фигур разной формы принято измерять в квадратных единицах. В те времена уже было известно, что из прямоугольных фигур с равными периметрами наибольшая площадь принадлежит квадрату. А круг, периметр которого равен периметру квадрата, обладает площадью большей, нежели площадь квадрата.
Следовательно, проблема технического решения данных геометрических задач была обусловлена практической необходимостью установления единицы относительной меры для вычисления равенства площади круга и квадрата в квадратных единицах измерения. Такой абстрактной единичной мерой был принят раствор циркуля, посредством которого очерчивается периметр единичного круга. Мерой его длины, посредством линейки без делений, строятся стороны единичного квадрата (Рис.1). Единичная мера в математике принята равной арифметическому числу 1. Таким образом, требовалось построить и вычислить безразмерную константу отношения длины периметра единичного круга к длине его диаметра. Такой константой, как известно, является число 𝝅=с𝒅, где c – длина периметра круга, d – длина диаметра круга.
Первые сведения о вычислении константы π согласно описанию историка математики Ф.Рудио [1] известны из папируса Ринда, составленного писцом короля Раауса Ахмесом в промежутке между 2000 и 1700 гг. до новой эры.
В папирусе без всякого обоснования дано правило для определения площади круга. Она равна площади квадрата, сторона которого равна диаметру круга, уменьшенному на 1/9 своей длины. Достаточно сравнить величину (8/9)2𝑑2=64/81𝑑2 и известную нам величину 1/4 π𝑑2,откуда для значения π получается приближенное значение 256/81 =3,1604…, обладающее порядочной точностью.
Математиком, который впервые поставил задачу измерения круга на вполне научную основу, был величайший математик древности Архимед. Он родился в 287 г. до н.э. в Сиракузах и был убит римским воином в 212 г. до н.э. при завоевании его родного города.
В своем сочинении «Измерение круга» он доказывает три предложения:
1. Каждый круг равновелик прямоугольному треугольнику, у которого один катет равен радиусу, а другой равен выпрямленной окружности круга.
2. Площадь круга относится к квадрату его диаметра (приблизительно), как 11 к 14.
3. Длина окружности превышает тройной диаметр меньше чем на 1/7, но больше чем на 10/71 частей диаметра.
Таким образом, первое предложение Архимеда является как бы гипотезой. Второе основано на третьем, которое представляет одно из основных математических и практических открытий древности.
Чтобы найти нижнюю границу отношения длины окружности к диаметру, Архимед пользовался соответствующими вписанными правильными многоугольниками, начиная с шестиугольника и кончая 96-угольником. В конечном итоге он вычислил для числа π верхнюю границу 3(1/7) = 3,14285… и нижнюю границу 3(10/71) = 3,14084…, среднее арифметическое которого близко к действительному значению π = 3,1415926…
Со времен Архимеда, применяя его метод в точном вычислении значения π, приняло участие множество известных истории математиков, беря за начало деления сторон разные правильные многоугольники. В конце 19 века значение π было вычислено уже с точностью 700 знаков после запятой. В настоящее время этим вычислением в Японии озадачен специальный компьютер, который вычислил иррациональное трансцендентное число π с точностью до многомиллионных знаков после запятой.
Переходя к теме данной статьи, следует указать, что в процессе многовековых исследований и бесчисленных попыток решить задачу «квадратуры круга» с помощью циркуля и линейки без делений, то есть геометрически, была доказана теорема.
Для того чтобы некоторое число могло быть построено с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо и достаточно, чтобы оно было корнем известного алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами. То есть, чтобы квадратура круга была выполнима, не только нужно, чтобы π было алгебраическим числом, но необходимо, чтобы оно было корнем такого алгебраического уравнения, которое было бы разрешимо при помощи квадратных корней, т.е. нужно чтобы само число π могло быть получено путем извлечения квадратных корней.
В конечном итоге было доказано, что π является числом трансцендентным (бесконечным), а поэтому квадратура круга с абсолютной точностью геометрически невыполнима. Вместе с тем история математики знает множество сравнительно приблизительных решений задачи «квадратуры» круга геометрически.
Исходя из известного численного значения π = 3,1415926535897932384626433832795…, решая задачу «квадратуры круга» с помощью циркуля и линейки без делений, необходимо построить отрезок прямой, равный стороне единичного квадрата.
Исходя из известных численных значений π и периметра единичного квадрата, который равен 4, вычислим длину его стороны и длину периметра равновеликого круга. Возведя численное значение стороны в квадрат, мы получим площадь квадрата равновеликого площади круга, то есть х𝟐=𝝅𝒓𝟐, где х – сторона квадрата, r – радиус круга. При r = 1 площадь квадрата будет равна числу π. Рассмотрим полученные при этом их численные значения.
Длина стороны единичного квадрата вычисляется из отношения
π/4 = 0,785398163397448309615660 …≈ √ф , где
ф = 0,61803398874989484820458683436559…, а √ф = 0,78615137775742328606955858584293…
Длина диаметра окружности, периметр которой равен периметру единичного квадрата, вычисляется по формуле c = πd = 4, где c – периметр круга. То есть d = 𝟒/𝛑 = 4/3,1415926535897932384626433832795… = 1,2732395447351626861510701069801 ≈√Ф, где
Ф = 1,6180339887498948482045868343656…
Полученные приблизительные численные значения √ф и √Ф, в связи с открытием и точным геометрическим построением численных параметров прямоугольного метатреугольника, навели меня на мысль – геометрически точно построить и вычислить периметр круга равновеликого периметру единичного квадрата.
Известно, геометрическая и арифметическая мера числа ф впервые была построена Евклидом (около 300 года до н. э.) с помощью циркуля и линейки без делений при построении прямоугольника равновеликого квадрату. То есть построения на единичном отрезке прямой равновеликих квадрата и прямоугольника со сторонами: ф и ф2 = 0,38196601125010515179541…
Автору статьи неизвестно, кто из математиков, решая задачу «квадратуры круга», смог ранее построить геометрически сторону квадрата (отрезок прямой) равную числу √ф. Вместе с тем, решая другие геометрические задачи, автор данной статьи построил высоту прямоугольного треугольника, вписанного в единичный круг, которая численно равна √ф. С алгоритмом ее построения можно познакомиться, открыв статью: http://www.trinitas.ru/rus/doc/0232/010a/02320003.htm.

Однако, осуществить при этом корректное построение равновеликих периметров квадрата и круга не удалось. Такое построение с помощью циркуля и линейки без делений стало возможным только после открытия и построения автором прямоугольного метатреугольника. Чтобы читатель смог безошибочно понять и свободно ориентироваться в алгоритме геометрического решения задачи «кругатуры» квадрата, ему необходимо познакомиться с алгоритмом построения метатреугольника, описание которого дано в статье «Метатреугольник как математическая модель гармоничного мироустройства».
После того как мерой единичной окружности был построен прямоугольный метатреугольник, стало возможным решить геометрически задачу «кругатуры» квадрата. В этой связи рассмотрим численные параметры Δ6,0,7 (Рис.2):
катет 0-6 = √Ф, катет 0-7 = Ф, гипотенуза 6-7 = Ф√Ф = 2,0581710272714922503219810475804… Высота метатреугольника 0-8 = √7−8∗6−8= √√ф√Ф = 0,999999999999999999999999999999…, опущенная с его прямого угла на гипотенузу, равна с максимальным приближением стороне единичного квадрата, длина периметра которого численно равна 3,9999999999999999999999999999996…
Таким образом, построен прямоугольный Δ0,8,6 (Рис.2). Построены и вычислены его катет 6-8 = √ф и гипотенуза 0-6 = √Ф, являющаяся диаметром окружности, в которую он вписан.
Алгоритм построения единичного квадрата (Рис.3)
1. С помощью циркуля делим гипотенузу 0-6 Δ0,8,6 пополам в точке 01.
2. Ставим ножку циркуля в точку 01 и описываем вокруг Δ0,8,6 окружность.
3. Ставим ножку циркуля в точку 8 и его раствором 0-8 на продолжении гипотенузы 7-6 отмечаем точку 13, где 8-13 = 0-8.
4. С помощью циркуля и линейки строим
перпендикуляр в точке 13 к отрезку прямой линии
7-13 до его пересечения в точке 15 с продолжением
прямой 7-2.
5. С помощью циркуля и линейки строим
перпендикуляр к отрезку 0-8 до пересечения его в
точке 14 со стороной 13-15 треугольника 7,13,15.
Таким образом, квадрат 0,8,13,14 у которого каждая сторона равна 0,999999999999999…, а его периметр равен 4*0,9999999… = 3,9999999999…, максимально приближен к длине периметра единичного квадрата и, соответственно – к длине периметра построенного круга, у которого диаметр численно равен √Ф.
В конечном итоге численное отношение периметра построенного квадрата (Рис.3) к построенному диаметру окружности равному √Ф вычисляется по формуле: 3,99999999999999999999999999999996/√Ф = π𝒄 = 3,1446055110296931442782343433715…
Полученное численное значение данной константы я обозначил символом π𝒄 , поскольку оно больше численного значения константы π. То есть больше численного значения:
4/1,2732395447351626861510701069801… = π = 3,1415926535897932384626433832795… В результате π𝒄 больше численного значения π на 0,003012857… Отмечу, что данные вычисления не оспаривают численное значение константы π, вычисленное в тождественно согласованной метрике единичного круга и единичного квадрата, где периметр квадрата равен 4, а диаметр равновеликого ему круга d больше значения √Ф на число: 1,2732395447… — √Ф = 0,0012198952…
Из приведенных выше построений, вычислений и геометрических преобразований следует резюме. Метагеометрия является родственной геометрией геометрии Евклида. Численное значение π𝒄 является ее константой и численным коэффициентом преобразования фигур геометрии Евклида в разные равновеликие фигуры метагеометрии. В этой связи универсальность константы π𝒄 позволяет решать множество, ранее не решаемых задач, например, построения и вычисления: прямоугольника равновеликого равностороннему треугольнику, правильной пятиугольной пирамиды, у которой боковые грани являются равносторонними треугольниками, додекаэдра и преобразования др. геометрических объектов.

© Сергиенко Петр Якубович
e-mail: trialektik@gmail.com

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *